Historia
Forma elíptica trazada en la antigüedad
sobre un muro de Tebas (Egipto)
La elipse, como curva geométrica, fue
estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a
Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse
fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era
ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en
un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento
en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre
trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.4
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades
geométricas
La elipse es una curva plana y cerrada,
simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos
equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias
desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la
longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la
distancia entre dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a
es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la
elipse si se cumple la relación:
Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia
entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las
distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor.
El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse.
Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse
es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del
centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y
su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
La excentricidad indica la forma de una
elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad
al valor cero.5La designación tradicional de la excentricidad es la letra
griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para
designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o
neperianos. Véase: número e).
Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular, esto es:
Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los
dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores
que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos
correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la
animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la
elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de
las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la
longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se
ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Concepto y elementos de la elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
A continuación se presenta unos ejercicios resolvimos en clases y graficamos en geogebra :
resolvimos también en geogebra:
ejercicio 2
graficamos en GeoGebra:
ejercicio 3:
ejercicios 4:
...viaje interestelar aceleración constante (órbitas elípticas, katherine johnson)... e, excentricidad >0 y <1 su grado de alargamiento; e= cos B/cos a... elípse, si se define como curva cerrada de la intersección de un plano que corta a una superficie cónica sin pasar por su vértice; a, ángulo de la superficie cónica entre su eje y generatriz; B, ángulo >a y <90º entre el plano y el eje de la superficie cónica.
ResponderBorrar...frenando asteroides, el método más expeditivo: colocar "las nucleares" muy cerca de la superficie... "Boom!", en el Espacio, al no haber aire no hay onda expansiva, lo único que le llega es la radiación que volatiliza el material del punto de impacto y produciendo un chorro a reacción que cambia su órbita... (pag. 135-138. Libro "El Asteroide del Fin del Mundo")
ResponderBorrar...viaje interestelar aceleración constante (motor lineal electromagnético)... ya hay pilas que producen electricidad desde la desintegración radiactiva natural (50 años duran para telf. Móvil). ¿También para un posible Motor de aceleración constante?: un Motor Eléctrico Lineal, Bobinas Electromagnéticas en línea que impulsarían a gran velocidad hacia la→ Popa de la Nave unas pesadas Bolas de Acero dentro de un Tubo en U (la parte abierta hacia la Proa) cerca del centro de gravedad de la Nave: 1º ◄Impulso por el retroceso→. 2º Impulso, al volver a inercia las Bolas por el otro ramal de la U al final impactan hacia la ◄Proa← y "caen", por un Tubo que cierra circuíto en la parte abierta, de nuevo al Inicio de la U... (Cañón electromagnético. Libro "El Asteroide del Fin del Mundo" pag. 139).
ResponderBorrar(2)...viaje interestelar aceleración constante (el motor)... Impulso a reacción con recuperación. Nada se pierde... a Popa de la Nave la "tobera" un rectángulo estrecho en forma de *Doble U* de Tubo al Vacío "x" diámetro. Alineado con el eje longitudinal de la Nave el Ramal Recto de Impulsión: un *Tubo* rodeado de Bobinas Electromagnéticas, un Cañón Electromagnético de alimentación continua que impulsa a gran velocidad a un Collar de pesadas Bolas de Acero Sueltas que van por Vía MAGLEV en el lateral exterior del *Tubo*, cada Bola del Collar, separada de las demás, luego sigue a inercia por el otro Ramal de simple retorno de las *U* para entrar de nuevo al Cañón indefinidamente: ◄Impulso a reacción con recuperación. Nada se pierde, "solo" hace falta mucha energía eléctrica en la Nave: un generador nuclear. Motor de Aceleración Constante.
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Borrar(a falta de Confinamiento Magnético...) en Confinamiento Mecánico: cada Cilindro▄Imán lleva en la superficie en su circunferencia un doble tren cada uno de 8 Rodamientos, 1 cada 45º, que lo guían rodando por el interior del *Tubo*.
ResponderBorrar(4e)...viaje interestelar aceleración constante (el motor)... el "Río con Retorno". Impulso a Reacción con Recuperación. Nada se Pierde: 1 RECTÁNGULO "estrecho" de *Tubo* de Sección Circular ○ de material no magnético y Capa Interior de Cristal... RECTÁNGULO relleno (¿sólo con Mercurio Líquido?) en Fábrica con un "Río" del hiperpolarizado y diamagnético Xenón-129 a alta presión y a "¾" de Cilindro▄Imanes, mismo diámetro que alto, de acero inoxidable Ferromagnético "ajustados" al largo en el *Tubo* pero con la holgura adecuada para ir sin roce en Confinamiento Magnético a Repulsión: Exteriores Sucesivos Electroimanes Toroidales (Donuts) alejarían "quizás" algo de las Paredes al "Río con Retorno"...
ResponderBorrar(Luz Sólida: un supersólido que fluye como un líquido sin fricción): el "Río con Retorno"
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